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复合分布

复合分布（Compound Distribution）是保险精算中的重要概念，用于描述总索赔量的分布。它结合了索赔次数分布和索赔金额分布，是风险模型的核心组成部分。

设N为索赔次数，X₁, X₂, ..., XN为各次索赔金额，则总索赔量S定义为：

S = X₁ + X₂ + ... + XN = Σ(i=1 to N) Xi

当N = 0时，S = 0。

总索赔量S的分布称为复合分布，记为复合分布F_S(x)。

当索赔次数N服从参数为λ的泊松分布时，总索赔量S服从复合泊松分布。

P(S ≤ x) = Σ(n=0 to ∞) [e^(-λ) * λ^n / n!] * P(X₁ + X₂ + ... + Xn ≤ x)

复合泊松分布的性质：

当索赔次数N服从参数为(n, p)的二项分布时，总索赔量S服从复合二项分布。

P(S ≤ x) = Σ(k=0 to n) C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) * P(X₁ + X₂ + ... + Xk ≤ x)

复合二项分布的性质：

当索赔次数N服从负二项分布时，总索赔量S服从复合负二项分布。

P(S ≤ x) = Σ(k=0 to ∞) C(k+r-1, k) * p^r * (1-p)^k * P(X₁ + X₂ + ... + Xk ≤ x)

复合负二项分布的性质：

平均索赔次数（λ）：

平均索赔金额（μ）：

索赔金额方差（σ²）：

某车险组合，索赔次数服从泊松分布，λ = 5，单次索赔金额服从指数分布，均值μ = 2000元，试分析总索赔量的分布特征。

E(S) = λ * μ = 5 * 2000 = 10,000元
Var(S) = λ * [Var(X) + μ²] = 5 * [2000² + 2000²] = 5 * 8,000,000 = 40,000,000
标准差 = √40,000,000 ≈ 6,325元

这意味着总索赔量的期望值为10,000元，标准差约为6,325元，表明存在较大的风险波动。