索赔金额（连续分布）
1. 索赔金额概述
索赔金额是指每次保险事故发生时，保险公司需要支付的赔偿金额。在非寿险精算中，索赔金额通常被建模为连续型随机变量，其分布特征对保险定价和风险管理至关重要。
2. 指数分布（Exponential Distribution）
指数分布是最简单的连续分布之一，常用于建模索赔金额的分布。
f(x) = λ * e^(-λx), x ≥ 0
其中：λ为分布参数（λ > 0）
指数分布的性质：
- 均值：E(X) = 1/λ
- 方差：Var(X) = 1/λ²
- 标准差：σ = 1/λ
- 失效率为常数λ（无记忆性）
3. 伽马分布（Gamma Distribution）
伽马分布是指数分布的推广，具有更灵活的形状，适用于建模各种索赔金额分布。
f(x) = [λ^α / Γ(α)] * x^(α-1) * e^(-λx), x ≥ 0
其中：α为形状参数（α > 0），λ为率参数（λ > 0），Γ(α)为伽马函数
伽马分布的性质：
- 均值：E(X) = α/λ
- 方差：Var(X) = α/λ²
- 当α = 1时，伽马分布退化为指数分布
4. 对数正态分布（Lognormal Distribution）
对数正态分布是保险精算中最常用的索赔金额分布之一，特别适用于建模具有长尾特征的损失数据。
若X服从对数正态分布，则ln(X)服从正态分布N(μ, σ²)
f(x) = (1/(xσ√(2π))) * e^(-(ln(x)-μ)²/(2σ²)), x > 0
对数正态分布的性质：
- 均值：E(X) = e^(μ + σ²/2)
- 方差：Var(X) = e^(2μ + σ²) * (e^σ² - 1)
- 具有长尾特征，适合建模大额索赔
5. 帕累托分布（Pareto Distribution）
帕累托分布常用于建模极端损失，特别适用于重尾分布的建模。
f(x) = α * x_m^α / x^(α+1), x ≥ x_m
其中：α为形状参数（α > 0），x_m为尺度参数（x_m > 0）
帕累托分布的性质：
- 均值：E(X) = α * x_m / (α - 1) （当α > 1时）
- 方差：Var(X) = α * x_m² / [(α - 1)²(α - 2)] （当α > 2时）
- 具有重尾特征，适合建模大额损失
6. 分布选择指南
| 分布类型 | 适用场景 | 主要特征 | 参数 |
|---|---|---|---|
| 指数分布 | 简单索赔金额建模 | 无记忆性，轻尾 | λ（率参数） |
| 伽马分布 | 灵活的索赔金额建模 | 形状可变，中等尾部 | α（形状），λ（率） |
| 对数正态分布 | 重尾索赔金额建模 | 长尾，适合大额索赔 | μ，σ（对数空间参数） |
| 帕累托分布 | 极端损失建模 | 重尾，适合极值 | α（形状），x_m（尺度） |
对数正态分布计算器
实例分析
某财产保险的索赔金额服从对数正态分布，参数μ = 8，σ = 1.5，试分析索赔金额的分布特征。
均值 = e^(μ + σ²/2) = e^(8 + 1.5²/2) = e^9.125 ≈ 9,188元
方差 = e^(2μ + σ²) * (e^σ² - 1) = e^17.5 * (e^2.25 - 1) ≈ 9.188 × 10⁷
标准差 ≈ 9,585元
方差 = e^(2μ + σ²) * (e^σ² - 1) = e^17.5 * (e^2.25 - 1) ≈ 9.188 × 10⁷
标准差 ≈ 9,585元
这意味着平均索赔金额约为9,188元，但由于对数正态分布的长尾特征，存在发生大额索赔的可能性。
本节要点总结
- 索赔金额是描述保险损失规模的重要指标
- 指数分布适用于简单索赔金额建模
- 伽马分布提供更灵活的建模选择
- 对数正态分布适合建模具有长尾特征的损失
- 帕累托分布适用于极端损失的建模