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索赔次数（离散分布）

索赔次数是指在特定时期内发生的保险索赔事件的数量。在非寿险精算中，索赔次数通常被建模为离散型随机变量，其分布特征对保险费率厘定和风险评估至关重要。

泊松分布是最常用的索赔次数分布模型，适用于描述稀有事件的发生次数。

P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!

其中：λ为平均索赔次数（分布参数），k为实际索赔次数（k = 0, 1, 2, ...）

泊松分布的性质：

当保险标的数量有限且每个标的都有相同的索赔概率时，索赔次数服从二项分布。

P(X = k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)

其中：n为保险标的数量，p为单个标的的索赔概率，k为实际索赔次数

二项分布的性质：

当索赔发生率存在异质性时，负二项分布是泊松分布的推广，可以更好地拟合实际数据。

P(X = k) = C(k+r-1, k) * p^r * (1-p)^k

其中：r为形状参数，p为成功概率，k为实际索赔次数

负二项分布的性质：

分布类型	适用场景	均值与方差关系	参数
泊松分布	稀有事件，同质风险	均值 = 方差	λ（平均次数）
二项分布	固定数量标的，固定概率	方差 < 均值	n（总数），p（概率）
负二项分布	异质风险，超分散数据	方差 > 均值	r，p 或 μ，k

平均索赔次数（λ）：

具体索赔次数（k）：

某车险组合有1000辆车，平均每年每辆车发生1次索赔，试分析索赔次数的分布特征。

由于车辆数量大，单次索赔概率小，可使用泊松分布近似：

λ = 1000 × 0.001 = 1
P(X = 0) = e^(-1) ≈ 0.368
P(X = 1) = e^(-1) × 1 ≈ 0.368
P(X = 2) = e^(-1) × 1² / 2! ≈ 0.184

这意味着该车险组合在一年内无索赔的概率约为36.8%。